यदि फलन f(x) = -4e^{left(frac{1-x}{2}right)} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$।चूंकि $g(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $g(f(x)) = x$।दोनों प

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$\frac{1}{5}$

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(A) दिया गया है $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$।चूंकि $g(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $g(f(x)) = x$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$।सबसे पहले,हम $x$ ज्ञात करते हैं ताकि $f(x) = -\frac{7}{6}$ हो। निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = -4e^0 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -4 + 2 + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}$।अब,$f'(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + x + x^2 = 2e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + x^2$।$x = 1$ पर,$f'(1) = 2e^0 + 1 + 1 + 1 = 2 + 3 = 5$।अतः,$g'(-\frac{7}{6}) = g'(f(1)) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$।

यदि फलन $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$ है,तो $g'(-\frac{7}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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